stateの情報をそのまま保存することができる。
AsyncStorage

import {AsyncStorage} from 'react-native';

データの保存

async Save(e){
          //AsycnStorageに保存
          try {
            console.log("保存START")
            const data = JSON.stringify(this.state.sheetData)
            await AsyncStorage.setItem('sheetData', data);
          } catch (err) {
            console.log("保存失敗")
            console.log(err)
          }
          console.log("保存成功")
  }

データのフェッチ

async Load(e){

    const value = await AsyncStorage.getItem('sheetData');
    if (value !== null) {
      // We have data!!
      console.log(value);
      this.setState({
        sheetData: JSON.parse(value)
      })
    }else{
      console.log("no sheetData");
    }
}